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  • Inés Vaca

Noción de Límite - Análisis Matemático

No siempre trabajar en Matemática significa realizar cálculos. Muchas veces es necesario hacer especulaciones con respecto al comportamiento de una función y justificar las afirmaciones realizadas, lo cual no se reduce a cuentas, sino a razonamientos lógicos.


Supongamos que invité a un amigo a cenar. Vamos a comer una pizza, por lo tanto la partiremos por la mitad y cada uno comerá 1/2 pizza. Justo antes de sentarnos a comer, llegaron 3 amigos más, por lo que ahora nuestra pizza debemos repartirla entre 5, y terminaremos comiendo cada uno 1/5 de pizza. Las porciones ahora, por supuesto, son más pequeñas, y si llegáramos a ser 𝑛 amigos, siendo 𝑛 un número grande, entonces cada uno comerá 1/𝑛 pizza. Esto es porque podemos acercarnos tanto como queramos a tener una porción cada vez más pequeña, según los amigos que seamos, para que todos podamos comer. En matemática podemos definir esta situación mediante símbolos, y sería:

Analicemos esa expresión:

  • n → ∞ se lee “𝑛 tiende a infinito”, donde 𝑛 es la cantidad de amigos que comeremos la pizza, y lo hacemos tender a infinito porque suponíamos la situación de que cada vez seamos más para comer.

  • 1/𝑛 hace referencia al tamaño de la pizza que comerá cada uno (la porción).

  • Es igual a 0 porque mientras más amigos seamos, más pequeña será la porción que comerá cada uno, y ese tamaño se va acercando cada vez más a ser “nada”, por eso su valor es 0.

En conclusión, podemos afirmar que con la palabra “límite”, nos referimos a acercarnos tanto como queramos a una situación en particular.


En matemática, podemos analizar el límite de cualquier función cuando nos acercamos a cualquier valor de la variable 𝑥.

Por ejemplo, consideremos la función:



Claramente el valor −2 no pertenece a su dominio pero, ¿Qué ocurrirá con el límite de esta función cuando 𝑥→−2?


Si buscamos una expresión equivalente a la función dada, concluimos que se trata de una función lineal, ya que:



Y su gráfico es:



Analizar el valor del límite de una función mirando su gráfico, es pensar en el valor de la función (si existe) cuando 𝑥 se acerca tanto como queramos al valor al que tiende. En otras palabras, ver cuánto vale la función en 𝑦, cuando 𝑥 se aproxima al valor correspondiente.


En este caso, si nos aproximamos a −2 sobre la recta que define la función, en el eje 𝑦 vale −4.



Por lo tanto decimos que:

Afirmamos entonces que no es condición necesaria que la función esté definida en un punto para poder analizar el valor de su límite cuando 𝑥 tiende al mismo. Es decir, hablar de límite en un punto 𝑥0 no significa calcular la imagen de la función en 𝑥0, sino analizar qué sucede con las imágenes cuando 𝑥 toma valores cada vez más cercanos a 𝑥0.

Hemos visto de forma intuitiva cómo encontrar el límite de una función, pero ahora analicemos su definición formal.


En palabras, esto significa que el límite de una función 𝑓(𝑥) cuando 𝑥 tiende a 𝑥0 es igual a 𝐿 si para cualquier valor 𝜀 (pequeño), podemos encontrar un 𝛿 tal que si 𝑥 pertenece al intervalo (𝑥0 − 𝛿; 𝑥0 + 𝛿) entonces la imagen de 𝑓 pertenece al intervalo (𝐿 − 𝜀 ; 𝐿 + 𝜀).


En nuestra función,

sería de la siguiente forma:


Tomando un valor 𝜀 pequeño alrededor de −4 y considerando el intervalo que se forma, podemos encontrar un 𝛿 cerquita de −2 que satisface la definición de límite, y por eso 𝐿=−4.










Inés Vaca

Inés es Profesora en matemáticas por la Universidad Nacional de Córdoba. Estamos orgullosos de decir que es parte del Equipo ICREA en el área de matemáticas y además es Profesora Titular en Diversas Instituciones de Córdoba.

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